Линейни функции

Линейната функция е функция, която представлява права линия в графика. Нейната обща форма е $y = mx + b$, където $m$ е наклонът, а $b$ е пресечната точка с оста y. Линейните функции са основни в математиката и се използват за моделиране на зависимости, където една величина се променя с постоянна скорост спрямо друга.

Наклон

На наклонът ($m$) измерва стръмността и посоката на линията. Той е отношението на промяната по вертикалната ос (покачване) към промяната по хоризонталната ос (изместване) между произволни две точки на линията. Положителният наклон показва, че линията се покачва отляво надясно, докато отрицателният наклон показва, че линията се спуска. Формулата за наклон е:

(1, 2)(3, 6)изместванепокачване
$$ m = \frac{\text{покачване}}{\text{изместване}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

За линия, която минава през точките $(1, 2)$ и $(3, 6)$, наклонът е: $$ m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 $$

Пресечна точка с оста y

Пресечната точка с оста y ($b$) е точката, в която линията пресича вертикалната ос (y). В тази точка стойността на $x$ винаги е нула, така че координатите на пресечната точка са $(0, b)$. Тя представлява началната стойност на функцията, когато независимата променлива е нула.

(0, 3)

Във функцията $y = 2x + 3$, пресечната точка с оста y е $b = 3$. Това означава, че линията пресича оста y в точката $(0, 3)$.